Inteligencia artificial (IA) y Gödel

Area: [FIDO] Ciencia Fech: 12 Jan 95 21:44 De: Alexander Hristov

FG> ...el teorema de Gödel y por IM> ...Es un teorema según el cual ningún sistema puede describirse a sí mismo. Por ej. una persona no puede diseñar algo que esté por encima de ella ya que estaría limitada por los axiomas que le ha introducido ésta.

No exactamente... Si fuese así los defensores de la IA fuerte (como yo) :-) no tendriamos muchas esperanzas de diseñar algo por encima de nosotros... Lo que dice es que en todo sistema axiomático hay enunciados que no son ni demostrables ni refutables dentro de ese sistema.

Fech: 14 Jan 95 18:51 De: Fernando Martinez A: Alexander Hristov

>>..teorema de Godel... No exactamente... Si fuese asi los defensores de la IA fuerte (como yo) :-) tendriamos muchas esperanzas de diseñar algo por encima de nosotros... Lo que dice es que en todo sistema axiomatico hay enunciados que no son ni demostrables ni refutables dentro de ese sistema.

Antes de ayer me compre un libro llamado "Controversia sobre mente y maquinas", (Tusquets editores, cuadernos infimos 124). Es una recopilacion de 9 ensayos sobre I.A. fuerte y contra ella.

Alguno de los ensayos en contra de la IA fuerte se basa en lo del teorema de Godel (al igual que hacia Penrose). Sigo pensando que ese argumento es ridiculo. Dicen que una maquina no puede ver la verdad de una frase como esta "Este enunciado es indemostrable en este sistema", y que una mente si puede (esa frase, en forma matematica, es el 'corazon' del teorema de Godel).

Pero el procedimiento de que se vale un cerebro para decir que esa frase es verdadera me parece de los mas mecanico: por reducion al absurdo, si no fuese verdadera en el sistema se demostrarian cosas falsas.

O sea, tenemos una frase verdadera pero indemostrable. Ello tambien lo puede hacer una maquina (dice que es verdad pese a ser indemostrable). Parece que para algunos detractores de la IA f. el que ese enunciado sea indemostrable y que la mente pueda determinar que es verdadero, constituye algo transcendental o algo asi. Yo no. Yo creo que incluso se puede programar facilmente una maquina que haga lo mismo que el cerebro con estos enunciados 'godelianos'.

De Jonathan Ruano a Fidel Garbajosa

Fecha estelar 08 Jan 95 13:28:22

JR> las propiedades matemáticas de los enteros positivos. Turing dio a la ingeniosa y complicada demostración de Gödel una forma más accesible. Mostró que el teorema de imcompletitud de aquél equivalía al aserto de que no podía existir un método general para decidir si un programa de ordenador llegará alguna vez a detenerse, esto es, si llegará a ser causa de que el ordenador suspenda su funcionamiento (cuelgue?).

Resumiendo un poco la cosa:

Antes de Gödel, se pensaba que toda proposición dentro de un sistema axiomático era demostrablemente verdadera o demostrablemente falsa. Gödel mostró que había una tercera posibilidad: existían proposiciones que no se podía demostrar si eran verdaderas o falsas (se entiende, dentro de un sistema axiomático).

UN EJEMPLO

La Conjetura de Goldbach: "todo número par puede obtenerse mediante la suma de dos primos".

8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 12 = 5 + 7 etcétera.

Nadie ha demostrado aún si la Conjetura de Goldbach es cierta o falsa, y se tiene la sospecha de que es indecidible. ¿Tratamos de demostrarla por ordenador?

Primero creamos un programa de ordenador llamado GOLD:

10 sea X := 2; 20 si X no se puede descomponer en la suma de dos primos, entonces ALTO; 40 sea X := X + 2; 50 ir a 20

Si la conjetura de Goldbach es cierta, el programa no se detendrá; quedará describiendo bucles eternamente o hasta que se fundan los plomos, lo que suceda antes :-). Si la conjetura de Goldbach es falsa, el programa se detendrá tarde o temprano.

Supongamos que existe un método general para decidir si un programa de ordenador llegará alguna vez a detenerse; que, naturalmente, será otro programa de ordenador que llamaremos abreviadamente el MGDPOLLAVD :-))). Si así fuese, contradeciría el teorema de Gödel: sometamos al programa GOLD al MGDPOLLAVD. Este nos dirá si GOLD se detendrá (conjetura falsa) o no (conjetura cierta).

Por tanto, el MGDPOLLAVD nos permitirá distinguir cualquier proposición como cierta o falsa... y el teorema de Gödel se iría al garete.

La trampa está, naturalmente en... ?cómo saber si el MGDPOLLAVD se detendrá? (el lector listillo dirá que se aplique al MGDPOLLAVD otro MGDPOLLAVD, pero ?y si este segundo tampoco se detiene...?).

Por tanto, el MGDPOLLAVD no puede existir, como dice el Teorema de Turing, y éste y el de Gödel dicen lo mismo con otras palabras.

Fech: 23 Jan 95 De: Fernando Martinez A: Javier Redal

Antes de Gödel, se pensaba que toda proposición dentro de un sistema aximático era demostrablemente verdadera o demostrablemente falsa.

Falso :) p.ej.: "7>x" antes de Godel ya se sabia que no era demostrable. Lo que algunos pensaban era que toda proposicion era o cierta o falsa o indemostrable.

> Gödel mostró que había una tercera posibilidad: existían proposiciones que no se podía demostrar si eran verdaderas o falsas (se entiende, dentro de un sistema axiomático).

Godel mostro que habia proposiciones 'ciertas' pero indemostrables !!. Y que por tanto los axiomas no contenian toda la informacion de todas las proposiciones que se podian construir en ese sistema.

> La Conjetura de Goldbach: "todo número par puede obtenerse > mediante la suma de dos primos". > Nadie a demostrado aun si esa conjetura es cierta o falsa,

Pues me voy a entretener un poco con ello

Al numero par lo llamare 2n , y a los primos p,p',.. Conjetura de Goldbach: 2n=p+p' ==> p ¿ [0,n] p'? [n,2n]

*La conjetura de Goldbach seria falsa si el numero de primos que hay en [n,2n] disminuyera al aumentar n. Ya sabemos que los primos van escaseando segun subimos, pero habria que ver si ese ritmo de disminucion alcanzaria alguna vez la necesaria para que se cumpla lo anterior. O sea que p.ej del 10.000.000 al 20.000.000 hubiese =<> y se tiene la sospecha de que es indecidible.

Y si lo es, tal vez esa conjetura se podria incorporar a los axiomas dando un sistema matematico; e incorporando la negacion de la conjetura saldria otro sistema matematico con caracteristicas interesantes..

> Por tanto, el MGDPOLLAVD no puede existir, como dice el Teorema > de Turing, y éste y el de Gödel dicen lo mismo con otras palabras.

Creo que tienen mucho que ver , pero que no son tan equivalentes como dices.