lunes, 15 de septiembre de 2008

Apuntes de Lógica Formal

Mensajes (msg) enviados a la lista Lógica 1, y que están reciclados de los enviados a csn-filosofía, en abril de 1999.
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From: Carlos
Date: Fri, 13 Jul 2001 17:28:51 +0200
Subject: [logica1] Logica proposicional 1. Notación
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Dado que por esta época no dispongo de tiempo para releer mi querido
Copi, os propongo la siguiente opción:

Hace cosa se dos año y pico intercambié unos msg en una lista donde me
atreví a sugerir que el dominio básico de un lenguaje formal sería muy
útil para pensar cosas de la vida cotidiana. Aún conservo esos
resúmenes. Así que si os parece bien, podría ponerlos aquí.

La ventaja que le veo es que cuando retomemos Copi volveremos a ver
estos temas, y quizá resulten más sencillos con conocimientos de esta
clase (por otra parte Copi tambien los trata 'in extenso'). Si estais
de acuerdo (la forma de manifestar lo contrario es muy sencilla;
simplemente decirlo aquí, en lista) aquí van estos 'apuntes'. La
numeración no será de clases sinó la que se establece en el subject.
La primera entrega resume los conceptos fundamentales, excepto la
notación no tiene para vosotros nada de nuevo.

Nota: a medida que los relea les haré algunos pequeños cambios. Como
son mios, es obvio que nunca estaré satisfechos de ellos.

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To: *csn-filosofia
Subject: Logica proposicional 1. Introducción
From: csalinas@iponet.es ([Carlos])
Date: Tue, 27 Apr 1999 17:47:36 GMT

CONSTRUCCIÓN DE UN LENGUAJE FORMAL.

El lenguaje natural (español, inglés, etc.) es excelente para
comunicarnos, pero muchas veces resulta confuso y otras tantas encubre
lo que se quiere decir más que mostrarlo (uso perverso que conocen al
dedillo los políticos).

De allí que se han ido creando diferentes lenguajes formales, que
pretenden reducir la ambigüedad y dar claridad y rapidez a lo que se
quiere expresar.

La lógica tiene muchos siglos de existencia, podríamos decir sin
faltar a la verdad... milenios; pero la lógica simbólica es cosa
reciente. Y lo que nos interesa ahora es conocer sus rudimentos.
Conociéndolos y aplicándolos enriqueceremos nuestro pensamiento y
potenciaremos nuestra capacidad de aprendizaje.

Hay diversas lógicas simbólicas (lógica proposicional, lógica
cuantificacional, lógica de clases, lógica de relaciones...) y todas
ellas dan respuesta a un problema que las otras no pueden resolver con
eficacia. En cierto sentido se parecen a los lenguajes informáticos,
existen y son variados porque queremos hacer distintas cosas con el
ordenador; bien, lo mismo sucede con estas lógicas. Sirven para cosas
diferentes.

Pero todas ellas empiezan con la lógica proposicional; así que
empezaremos tambien por aquí.

¿Qué es una proposición?

*Una proposición es una oración de la cual se puede decir que es
verdadera o falsa*.

O sea una frase que dice algo, no que manda, ni que interroga, ni que
sugiere. Si digo "¡Dame el martillo!" estoy pidiendo algo, no
enunciándolo; luego no es una proposición. Si alguien me cuenta "¡me
gustan los lirios!", me transmite una emoción muy personal; no es una
proposición. Si un funcionario me pregunta: "¿Cual es su segundo
apellido?", me interroga; no es una proposición.

En el lenguaje natural hay muchas cosas que se dicen y no son
proposiciones, pero pueden convertirse en proposiciones si las
arreglamos un poco. El arte del lógico pasa, tambien, por transformar
la vaguedad del lenguaje en algo manejable por la lógica.


*Un argumento es una serie de proposiciones, dispuestas de tal manera que si se aceptan las iniciales debe aceptarse forzosamente la final.*

Un argumento es un razonamiento. Si aceptamos las premisas, DEBEMOS aceptar la conclusión. Hay un encadenamiento forzoso. Pero ¡ojo! alguna gente se confunde y dice que un razonamiento es verdadero o falso. No está bien dicho. Un razonamiento es *correcto* o *incorrecto*... lo único que es *verdadero* o *falso* son las proposiciones que componen un razonamiento.


*Los lenguajes formales son lenguajes escritos.

La lógica simbólica no se puede charlar, sí se puede leer (o escribir). Los símbolos tienen forma escrita y allí se entienden mejor. De la misma manera que no se puede hacer matemáticas sin lapiz y papel (o con una pizarra), tampoco se puede hacer lógica simbólica sin escribir las formulas.

Usaremos los siguientes símbolos de lógica proposicional, pero antes aviso que me encuentro con el problema que tanto el gestor de correos como el editor de textos que uso habitualmente (el Notetab) no tienen los símbolos lógicos que se usan en los libros. Esto es una verdadera lástima, pero se pueden suplir por otros. El único problema es que si queremos cotejar algo de lo que se dice en estos msg con un libro de lógica... habrá que tener en cuenta la diferencia gráfica en los símbolos.

Para lógica proposicional usaré, en vez de los símbolos que están en los libros:

no: ¬ (resulta fácil porque resulta de pulsar AltGr+6)

y : & (puede usarse el punto también, pero ya que está a
mano evitamos confusiones si usamos la 'y' comercial inglesa,
ampersand)

'o' inclusivo: || (Con AltGr+1, dos veces)

'o' exclusivo: | ( AltGr+1)

si...entonces: >> (Es fácil de obtener con el teclado)

si y sólo si: <> (tambien resulta muy cómodo).


letras proposicionales: p, q, r,

constantes: A,B,C,D...

en consecuencia, o por lo tanto: .: (punto y dos puntos seguidos)

Nota: una manera de habituarse a estos símbolos es usarlos en
cualquier lado. Por ejemplo los podemos intercambiar en nuestros msg.;
tomarán cierto aspecto críptico... pero al fin de cuentas esta es una
lista de lógica ¿no? y el que se siente extraño, como siempre, puede
protestar ;-)

A mi me parece que hay que abreviar todo lo posible, cuando se escribe... se acelera la velocidad del pensamiento.

Nota: dado que me voy de vacaciones dentro de semana y media, si os apetece estas notas, enviaría varias (así teneis para entreteneros).

Carlos






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From: Carlos
Date: Thu, 12 Jul 2001 20:41:57 +0200
Subject: [logica1] Logica proposicional 2. Tablas de Verdad
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LOGICA PROPOSICIONAL (tambien se la llama "lógica sentencial" o
"lógica de enunciados").

Es la más elemental de las lógicas simbólicas. Y es menester conocerla si se quiere abordar otras que permiten diferentes cosas.

Esta lógica trata de enunciados, globalmente considerados, y de sus combinaciones, sin que importe la composición de los enunciados. Aclaramos, que usamos indistintamente "proposiciones" o "enunciados" con el mismo significado.

Resulta muy sencillo simbolizar enunciados de muy diversa compeljidad con la misma letra. "p" puede representar tanto:

-LLueve
-Cesar cruzó el Rubicón
-El gobierno se reúne todos los viernes a las 10 de la mañana.
-El Támesis es un rio.
-Los politicos nunca dicen la verdad.

Estos enunciados se componen de sujeto y predicado y son los elementos más simples de la lógica proposicional; tambien se los llama "enunciados atómicos" comparándolos con los elementos más sencillos de la materia, lo átomos. Vemos que aquí se afirma algo, o se niega.

*"Cada proposición es simbolizada por una letra: p,q,r,s"

De esta manera se simplifica la fórmula, si estas letras no alcanzan, se usan las mismas con un índice, 1, 2, 3, 4... el problema es que aquí no lo podremos representar, tendrían que quedar así: p1, p2, p3... lo cual no es tan estético pero podría ir tirando.

RESUMIENDO:

*Una proposición o enunciado puede ser atómica o molecular ('simple' o 'compuesta', como dicen en algunos libros de lógica):

Atómica, no incluye conjunciones: p, q, r son tres proposiciones atómicas.

Molecular, las incluye: p||q ; p&q; p<>q Un enunciado molecular combina enunciados atómicos. En los símbolos hay tambien tres proposiciones, pero formadas cada una por dos letras proposicionales y una conectiva.

Aclaremos para evitar cruces mentales: Las proposiciones "moleculares" son las que estudiaremos y aplicaremos en lógica; las "atómicas" son en si mismas bastante bobas y no sirven de mucho consideradas aisladamente.

Las moleculares signfican que existe algo que liga a estas proposiciones. Y ese algo es lo que se llama una "conectiva" o tambien "juntor" (podeis elegir el término que más os guste). En informática las llamariamos, simplemente, "operadores". Por ahora usaremos el término lógico, pero se aclara que puede usarse los otros dos como sinónimos.

Las conectivas que usa la lógica proposicional son:

'o', 'y', 'o...o', 'si...entonces', 'si y solo si', 'no'.

Con estas 6 conectivas tenemos música para rato. Prácticamente no se nos escapará nada importante.

¡Ojo! pueden existir infinidad de conectivas en un idioma, por ejemplo "creo que", "tengo la sensación" "en cierta forma", etc. etc. todas ellas pueden usarse para unir afirmaciones (o negaciones) y de hecho la retórica las estudia porque entre ellas puede haber matices y sutilezas interesantes. Pero la lógica es mucho más nítida; elimina todo lo que resulta confuso y deja sólo aquellas conectivas que llama "extensionales". Es decir que la verdad de la proposición molecular se pueda derivar claramente de las proposiciones atómicas incluídas. (las otras conectivas, las que descarta la lógica proposicional, reciben el nombre de conectivas no-extensionales).

Cuando no encontremos, analizando un texto con esta situación (frente a conectivas no-extensionales) no tendremos más remedio que reducirlas a la conectiva extensional que nos parezca más práctica. Es como si la lógica no tolerara las lineas irregulares, y armados de regla y compás, redujeramos las multiples e irregulares formas de un dibujo a formas geométricas.

Esta es la principal debilidad de la lógica... y tambien, por eso mismo, su fuerza principal. Se "poda" la realidad para poder ver mejor las lineas maestras que contiene.

Pasaremos entonces, a ver como funcionan las *Tablas de Verdad*, el corazón de la lógica proposicional.


TABLAS DE VERDAD:

Se parte de los siguientes supuestos (sin ellos no se puede construir ninguna TV)

1. Todo enunciado es verdadero o falso. No hay categorías intermedias.

Nota: en otras lógicas, existen *sí* categorías intermedias, que pueden ser tres (verdad, falsedad, indeterminado) o infinitas. Son "lógicas modales", realmente fascinantes, pero si no se entiende la lógica proposicional -que es más sencilla- yo no aconsejaría meterse en camisa de once varas :-)

2. El valor de verdad de cualquier fórmula molecular se puede determinar por los valores de verdad de los elementos componentes.

3. Para determinar el valor de verdad (se usa "valor de verdad" más que "verdad" a secas) de una fórmula molecular, se construye una Tabla de Verdad.

Una TV se diseña colocando la proposicion atómica, la conectiva, y la otra proposición atómica al lado. Abajo, en columna, se colocan V o F (V significa que es "Verdadera" y F, obviamente, que es "Falsa").


Veamos ahora las TV para las conectivas ya aludidas:

1. PARA LA NEGACIÓN (¬p)

p ¬p
--------------
V F
F V


¿Que significa esto?

Quiere decir que si la proposición 'p' es verdadera. su negación es falsa, y que si es falsa... su negación es verdadera.

Traducido (lo haré sólo con esta TV, porque sino resulta pesadísimo)

Llueve no-Llueve
-----------------------------------
Si es V su negación es F
Si es F su negación es V

Alguien podrá asombrarse de que se pueda decir, y escribir, algo tan estúpido... pero yo aconsejaría no envalentonarse. Las cosas complicadas empiezan con un sencillez maquiavélica.

Resumiendo: Si "todos los hombres fuman" es cierto, su negación "No todos los hombres fuman" es falso.

Ojo! la negación debe ir siempre al principio de la proposicion molecular. Si dijeramos "todos los hombres *no* fuman" hemos cambiado sutilmente el significado y desde el punto de vista lógico esta proposición no sería la negación de la anterior. Tiene que ser *exactamente* simétrica, ¡no olvidar esto!


2. PARA LA CONJUNCIÓN (p&q)

Vereis que a partir de aqui en todas las TV se coloca la primera proposición atómica, luego la segunda, y luego la conectiva que las une. El valor de verdad del conjunto (de la proposicion molecular) está puesto debajo de la conectiva.

p q p&q
--------------------------
V V V
F V F
V F F
F F F

Comentario: la TV indica que para que la conectiva 'y' (&) convierta en verdadera la proposición molecular, ambas deben ser V, sino resulta falsa.

"LLueve y truena". Esta proposicion es cierta si son ciertas las dos partes que la componen. Si una de ellas es falsa, la proposición es FALSA.

Hay un sólo caso donde la 'y' no es una conectiva, no se puede usar en lógica proposicional; sucede cuando la 'y' se usa como causa de... por ejemplo: "Juan comió una mariscada y se murió".

Aquí la 'y' está encubriendo la idea de "por esa causa", y esto es una cuestión de hecho, no de lógica (a lo mejor la mariscada no tenía la culpa). Recordemos que TV de la 'y' funciona siempre que la 'y' sea sólo una conjunción, una partícula que une dos proposiciones diferentes.


3. PARA LA DISYUNCIÓN (p||q)

Hay dos clases de disyunción, la inclusiva y la exclusiva. Une ejemplo de la primera podría ser "O llueve o truena"...o ambos. Y la exclusiva es, por ej., "O llueve o truena"... pero no ambos. En el lenguaje natural, cotidiano, se tiende a usar el segundo significado ("O me quieres o me dejas"), pero la lógica proposicional usa mucho más el primero, "o lo uno o lo otro, o ambos".

Aquí tenemos la TV de la disyunción inclusiva (la "debil" para
entendernos).

p q p||q
---------------------------
V V V
F V V
V F V
F F F

Se ve que la Verdad de la proposición final, la molecular, resulta en tres casos posibles, y que sólo sería Falsa, si la primera y la segunda fuese falsa.

En cambio veamos la TV de la disyunción exclusiva (o....o"), la *fuerte*.

p q p|q
V V F
F V V
V F V
F F F

Sólo sería Falsa si las dos proposiciones que une son *o ambas Verdaderas o ambas Falsas*. Si una es Falsa y la otra Verdadera, la disyunción exclusiva se cumple, es Verdadera.


4. PARA EL CONDICIONAL (p>>q)

p q p>>q
---------------------------
V V V
F V V
V F F
F F V

El condicional (si...entonces) se cumple en tres casos, sólo es falso cuando el antecedente (así se llama la primera proposición) es V y el consecuente (la segunda proposición) es falso.

Dicho con otras palabras, sólo es falso cuando decimos: "Si llueve entonces me pongo el impermeable", y resulta que "llueve" y no me pongo el impermeable. En ese caso es obvio que el condicional resulta falso.

El lector que hasta este momento está siguiendo la explicación (y no ha abandonado por algo más divertido) quizá se asombre de la linea 3 de esta TV. Aquí resulta que el antecedente es V, el consecuente es F, y por consiguiente la proposición resulta FALSA. Esto puede chocar contra el sentido común, porque en la práctica se usa este condicional de otra manera.

"Si Goethe era un escritor, Napoleón era un químico" Daría falso en la tabla de verdad. No todo el mundo lo ve de un vistazo; tampoco "Si los peces ladran (falso), Barcelona fue fundada por mi tia (falso)" se ve claro que de proposiciones falsas puede surgir un condicional verdadero... como aparece en la tabla.

Lo que pasa es que para los lógicos, cualquier antecedente falso permite decir cualquier cosa. El condicional siempre resultará verdadero. Si los perros vuelan, mi mamá es Felipe González, esto es absurdo, pero el condicional... es verdadero, según las TV.

No estoy en condiciones de extenderme más, sólo pido que trateis de buscar un ejemplo para cada una de las lineas de las TV, es la única manera de empezar a dominar este lenguaje. Vereis como la sencillez, puede cambiar de aspecto... cuando uno menos se lo piensa.


5. PARA EL BICONDICIONAL (p<>q)

Equivale al signo igual en la aritmética; lo que está a la derecha es equivalente a lo que está a la izquierda. "LLueve si y solo si cae agua del cielo".

p q p<>q
------------------------------
V V V
F V F
V F F
F F F

Como era de esperar, el bicondicional es verdadero sólo si las dos proposiciones que lo componen son verdaderas. Basta con que una sea falsa, para que el bicondicional sea falso.

Carlos
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From: Carlos
Date: Mon, 16 Jul 2001 17:53:18 +0200
Subject: [logica1] logica proposicional 3. Variables y constantes.
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Logica Proposicional 3. Variables y Constantes.

Nota: Recuerdo los simbolos que utilizamos:

y - &
o - ||
o exc. - |
no - ¬
si, entonces - >>
si y solo si - <>


INTERPRETAR UNA FORMULA PROPOSICIONAL.

Las letras 'p, q, r, s' son variables proposicionales. Es decir indican que en ese lugar hay una proposición, sea cual fuere. Sin embargo si se sigue un razonamiento pueden resultar pesadas porque no tenemos ninguna pista visible de las distintas partes que componen ese pensamiento.

Ej.

Si Sócrates es hombre entonces Sócrates es mortal

Este razonamiento tiene la forma:

p>>q
p
------
q

Resultará más fácil identificar las proposiciones simples con un letra que tenga relación con el significado. Esto se puede hacer si reemplazamos las "variables" expresadas en la fórmula por letras mayúsculas que son casos concretos de esa variable. Entonces el razonamiento quedaría así:

S>>M
S
------
M

La fórmula final es una interpretación de la fórmula más general (expresada en variables) anterior. El único requisito es interpretar siempre con las mismas letras las mismas variables, si no la confusión está garantizada.
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From: Carlos
Date: Mon, 16 Jul 2001 17:53:23 +0200
Subject: [logica1] logica proposicional 4. Sobre las conectivas
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Logica proposicional 4. Sobre las conectivas

Ampliemos un poco más el tema de las conectivas proposicionales:

1. 'y' (&)

En el lenguaje natural esta conectiva puede indicarse por diferentes palabras (ésta es la riqueza del lenguaje natural; riqueza que lo hace menos preciso).

Se puede decir:

Juan vino y Raul se fué.
Juan vino pero Raul se fué.
Juan vino aunque Raul se fué.
Juan vino y sin embargo Raul se fué.
Juan vino no obstante Raul se fué.

Todos estos casos llevan la misma conectiva ' & '

2. ' no ' (¬)

Tambien puede expresarse de diferentes formas la negación en español.

Por ejemplo:

Es falso que los hombres sean inmortales.
No se da el caso que los hombres sean inmortales.
No es cierto que los hombres sean inmortales.
No es verdad que los hombres sean inmortales.
Que los hombres sean inmortales en algo que no puede ser.
¡Ya me gustaría que los hombres fuesen inmortales!

Y todas las variantes que se usan en el lenguaje cotidiano y en la literatura. En lógica todas estas posibilidades quedan resumidas en la escueta fórmula:

¬p

Con el significado (la interpretación) de: No son inmortales los
hombres.



3. 'o...o' (||).

En los libros de lógica se simboliza simplemente con 'v' . Así empieza la palabra latina "vel" que expresa la disyunción debil. En cambio la disyunción fuerte se expresa con "aut"; diferencia que no existe en español. En estas hojas optamos por representar el primero '||' mientras que la disyunción fuerte, la escribimos '|, en cambio en los libros de lógica suelen usarse signos variados (entre ellos tres rayas paralelas con otra cruzada).

La disyunción débil (||) en el lenguaje natural se usa en frases como

"No se otorgarán primas en caso de enfermedad o desempleo"

se sobrentiende que si existe alguien que tiene la mala pata de estar desempleado y enfermo... también recibirá esa prima (en lógica se diría que la proposición tambien es verdadera).

En cambio cuando en un menú de restaurant se indica "postre o café", se entiende que "o lo uno, o lo otro... pero no ambos". Es la disyunción exclusiva (|). Si alguien se toma ambas cosas y luego quiere no pagar un suplemento... no creo que convenza al camarero diciendo que interpretó la disyunción "o...o" en su forma debil.


2. El condicional "si...entonces" (>>)

Aquí se afirma sólo que existe una relación entre ambas proposiciones de tal naturaleza que *si* la primera es verdadera, la segunda *tambien* debe serla. Pero es una implicación no necesaria, no forzosa, sino simplemente afirmada. Es lo que se llama en lógica "implicación material". Entiendase que no se afirma que el antecedente (la 1ra. proposición) sea verdadera, sino algo más debil, sí la primera es verdadera, entonces la segunda (el consecuente) será tambien verdadera. Pero la primera puede no ser verdadera.

Existe una ambiguedad en el uso del condicional en el lenguaje natural donde se usa el "si...entonces" con diferentes grados de fuerza.

Compárese que no es igual decir:

A. Si todos los hombres son mortales y Sócrates es hombre, entonces Sócrates e mortal.

que en

B. Si el Barcelona pierde este partido, entonces me como mi gorra.

El primer caso implica una relación lógica estrictamente forzosa. El consecuente se desprende lógicamente del antecedente. En cambio en el segundo no existe esa clase de relación. No hay ninguna ley ni lógica ni científica que obligue a comerse la gorra en caso de que pierda el equipo con que nos identificamos... simplemente se comunica una decisión muy personal.

En el condicional la relación es simplemente afirmada, no se requiere una implicación lógica o de otro tipo. Simplemente se dice que la proposición condicional resultará verdadera si el antecedente se cumple y el consecuente tambien se cumple. Por eso, porque es una implicación "debil", porque no está *escrita* en el significado del antecendente es que los lógicos antiguos la llamaron implicación material (diferenciandola así de la implicación formal o lógica, de la cual el primer caso podría ser un ejemplo).

De esta manera se simplifica el condicional que se usa en la vida diaria. Su significado es equivalente a ¬(p&¬q) [traducido: que se de 'p' y que no se de 'q'... no es verdad]. Esta forma debil de implicación debe ser conocida cuando se usa la fórmula, para evitarse complicaciones al pensar si esta relación implica lógicamente a los términos (la respuesta sería: "no, no lo implica").

Dicho con palabras aún más sencillas:

*la implicación material no sugiere ninguna conexión formal entre el antecedente el consecuente. Todo lo que se afirma es que, de hecho, no se da el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.


3. El bicondicional "sí y sólo sí" (<>)

Tambien algunos libros (como los Principia Mathematica) usan tres rayas paralelas, una más que el signo igual.

En el lenguaje matemático es frecuente el uso de "sí y sólo sí" que se considera sinónimo de "cuando y solamente cuando", y tambien de "equivalente". Significa que la proposición condicional es verdadera cuando sus partes, las proposiciones atómicas, tienen igual valor de verdad; si son ambas verdaderas o ambas falsas. Si éstas tienen diferentes valores de verdad (una es verdadera y otra es falsa) entonces el bicondicional es FALSO.

Lo mismo que en el caso del condicional, no debe entenderse la relación como "equivalencia" (lo cual significa que una parte implica lógicamente a la otra) sino como implicación material; se afirma esa relación nada más. La diferencia es sutil pero bastará agregar (al nivel que nos interesa en estas hojas) que el bicondicional se cumple aunque *no haya* una equivalencia formal, sólo *afirmada* (obviamente, sí, además, la hay... tambien se cumple).
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From: Carlos
Date: Tue, 17 Jul 2001 13:06:56 +0200
Subject: [logica1] logica proposicional 5. Uso de las Tablas de Verdad
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Logica proposicional 5. Uso de las Tablas de Verdad

Las fórmulas lógicas son útiles porque permiten un pensamiento mecanizado; es decir que puede realizarse como un cálculo más.

Paradojalmente la lógica que ayuda a pensar funciona mejor cuando no se piensa. Quiero decir cuando *no se es consciente* de todos los pasos del proceso.

Lo mismo sucede con los números. Si deseamos resolver un problema sencillo de limones y cajones (cuantos hay en varios cajones), multiplicamos las cifras sin preocuparnos de saber, en cada fase de la operación si estamos trabajando con limones o con cajones. Lo que nos interesa es el resultado. A tal punto sucede ésto que pocas personas podrían explicar con palabras del lenguaje natural que se está haciendo cuando se multiplica, divide se extráen raíces.

En lógica la equivalencia entre fórmulas permite mecanizar el cálculo sin necesidad de pensar (o interpretar) que significa cada fórmula que se obtiene en los diferentes pasos.

Veamos un ejemplo:

Para comparar las diferentes fórmulas usaremos el procedimiento de las Tablas de Verdad (si estás son iguales, las fórmulas tambien son iguales:

p p>>p p<>p ¬(p.¬p) p||¬p
--- ------ ------- --------- ------
V V V V V
F V V V V

No importa lo que digan, en lenguaje natural, estas proposiciones (puede ser Juan corre, Si hoy llueve entonces aumentarán los accidentes de tránsito o No es verdad que soy un poeta y no soy un poeta). Lo que comparamos es su estructura; y resulta mucho más fácil hacerlo con símbolos que pensando con todas las palabras.

Para comparar TV se parte de sus elementos atómicos y luego, paso a paso se van resolviendo los casos segun la conectiva que tenga. Para simplificar hemos puesto una sóla proposición simple; pero lo mismo se haría si fueran dos, 'p' y 'q', o más, que es lo que suele pasar.

En la primera linea, se parte de 'p' y se la supone Verdadera, luego en "si p entonces p" tambien será verdadera, y así en las demas conectivas.

En la segunda linea, se parte de 'p' y se la supone Falsa, tambien da V en las demás conectivas (según las tablas de verdad ya estudiadas).

El resultado es que todas las TV tienen la misma forma (son todas verdaderas no importa si sea V o F la proposición atómica). Luego, se concluye, que *si tienen la misma forma, son equivalentes*. Una puede ser reemplazada por la otra sin que el resultado final se altere.

Con este procedimiento se pueden hacer cálculos muy complejos, que están fuera de estas explicaciones. Porque aquí de lo que se trata es de usar las fórmulas para mostrar el esqueleto del pensamiento, no para trabajar a fondo con el lenguaje denominado "logica proposicional".

Quiero decir que, por medio de un lenguaje formalizado, se puede ver el pensamiento (expresado en palabras, claro) como en una radiografía se ven los huesos y los cartílagos. Llamo la atención sobre este particular porque si llegais a entenderlo comprendereis la importancia de dominar un lenguaje formal como la lógica proposicional (y otros más sutiles que vienen después, en el proceso de aprendizaje).

Aparentemente no tiene mucho valor reducir la riqueza de la expresión cotidiana a breves y enigmáticas fórmulas. Curiosamente tampoco se le dió mucha importancia, al inicio, a los Rayos X; parecían un juego más que otra cosa.

Carlos.




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From: Carlos
Date: Tue, 17 Jul 2001 20:39:57 +0200
Subject: [logica1] Logica proposicional 6.Tautologías.
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Logica proposicional 6.Tautologías.

Hay algunas tautologías (fórmulas proposicionales que dan siempre verdad, no importa la conectiva que se usa) que se usan mucho en lógica; éstas reciben el nombre de "leyes". Veamos algunas:

1. El principio de identidad: una proposición es igual a si misma (tiene siempre el mismo valor de verdad)

p>>p

o tambien:

p<>p


2. El principio de contradicción: una proposición no puede ser su contraria ( o lo que es equivalente: una proposición no puede ser a la vez verdadera y falsa).

¬(p&¬p)

(no es verdad que 'p' y no 'p')


3. El principio de tercero excluído: una proposición es verdadera o falsa, no cabe otra posibilidad.

p||¬p

(o 'p' o no 'p')

Hay infinitas tautologias, basta con ir mirando las TV y verificar si tienen todas V.

Si en todos los casos dan V, pues es una tautología sin duda.

Y si en todos lo casos da F, seguro que es una contradicción.

Dicho con otras palabras: una tautologia nunca puede ser falsa, y una contradicción nunca puede ser verdadera.

Pongamos un ejemplo:

"¿es p>>(p||q) una tautología?"

Una manera de saberlo es buscando una interpretación de la fórmula (en lenguaje natural) y comprobar si tiene un sentido tautológico; es decir que no puede dejar de ser verdadera.

En este caso podriamos inventar la interpretación:

"Si Napoleón fue francés entonces llueve o truena".

Creo que se ve bastante claro que la frase anterior no es fácil de captar, y que mucha gente dudaría en afirmar que es una tautología (en cambio nadie dudaría si decimos algo más sencillo como "Si es un perro, entonces es un perro" p>>p (vease la tautología 1.)

El procedimiento mecánico de la TV permite resolver el problema mucho más rapidamente, *sin ninguna vacilación* debida a nuestras dificultades de concentración que producen las palabras:


p q p||q p>>(p||q)
-- -- ----- -----------
V V V V
F V V V
V F V V
F F F V


Se ve que la tabla de verdad de la última fórmula da siempre V, (lo que significa que en cualquier caso posible es V); prueba evidente que esa fórmula algo enigmática... es una tautología.

Nota: recuerdo que para resolver la tabla de V se colocan los elementos y se van resolviendo uno a uno. Se podría poner directamente la tabla tal como aparece en la proposición que queremos analizar, pero para hacerlo así se requiere mucha práctica y en cualquier caso no es aconsejable. Resulta fácil confundirse.

Entonces no deberíamos analizar directamente algo así:

p>>(p||q)
-----------
V
V
V
V

Sino hacerlo, como mandan las reglas empezando por las proposiciones
componentes e ir avanzando hasta la fórmula final, tal como está
arriba.

Carlos
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http://usuarios.iponet.es/ddt/

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From: Carlos
Date: Sat, 21 Jul 2001 13:37:33 +0200
Subject: Logica proposicional 7. Falacias.
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To: *csn-filosofia
Logica proposicional 7. Falacias.


Si se ha comprendido todo hasta aquí (o por lo menos el 95%) se podrá entender que el lenguaje formalizado ofrece una manera rápida de resolver si un razonamiento es correcto o incorrecto. El proceso que establece que la conclusión se sigue de las premisas se llama "prueba". Y aquí tenemos algunos ejemplos:

J->A
J
------
A

Un razonamiento sencillo: "Si Juan viene entonces Ana rie". Si se
afirma: "Juan viene", se puede concluir que "Ana rie".

La raya '-----' reemplaza a "entonces".

Es un razonamiento elemental que se encuentra en muchas discusiones, pero en esta forma:

J->A
¬A
-----
¬J

"Si Juan viene, Ana rie" (la coma puede reemplazar a "entonces").
"Ana no rie" entonces "Juan no viene"

Es un razonamiento correcto, si la premisa es Verdadera (ojo! un
razonamiento sólo asegura la conservación de la verdad de las
premisas. Es decir que un razonamiento puede ser corrrecto por su
forma y falso, si la premisa del cual parte es falsa).

Pero ¡cuidado! con la siguiente inferencia

J->A
¬J
-----
¬A

Es una FALACIA, un razonamiento incorrecto. Veamos: "Si Juan viene, Ana rie"; "Juan no viene", entonces "Ana no rie".

Cualquiera puede darse cuenta que Ana puede reir por muchas causas (no sólo porque Juan no viene). O sea que el razonamiento es incorrecto porque de la premisa (¬J) es imposible deducir que Ana ria o no.

Lo único que se puede asegurar que *si Juan viene entonces Ana reirá*, pero tambien puede reir porque alguien le cuente un chiste, aunque no esté Juan.

El análisis de las falacias permite descubrir los razonamientos aparentemente correctos y que sin embargo las premisas no soportan las conclusiones.

En política (pero no sólo en ella) es habitual encontrar decenas de ejemplos de falacias ¿por qué se usan, a pesar de su incorrección? La respuesta más evidente (aúnque no la única) es porque la gente no percibe los saltos en el pensamiento, las conclusiones apresuradas, las deducciones falsas. El pensamiento en la vida cotidiana funciona "por aproximación" y por emociones. El presunto culpable ya lo es antes de haber examinado las pruebas, la conclusión va delante y luego su justificación. Lewis Carroll, que tambien fue lógico, se burló de ello en "Alicia en el país de las Maravillas". La reina de corazones condenaba y luego quería saber "por qué".



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From: Carlos
Date: Sat, 21 Jul 2001 13:37:35 +0200
Subject: logica proposicional 7. Intermedio
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De aquella época rescato esta respuesta a un amigo porque me he tomado el trabajo de desglosar parte por parte el proceso. La verdad es que lo leo y me asombra tantan paciencia... algo que disminuye con la edad!

Carlos
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Fri, 30 Apr 1999 23:52:15 +0200:
["José Biedma" ]
>"Si Napoleón fue francés, entonces Napoleón fue francés o llueve"
>
>Lo cual es tautológico por definición como puede comprobarse fácilmente
>mediante tabla de verdad:
>
>p>>p || q
>11 1 1 1
>11 1 1 0
>01 0 1 1
>01 0 0 0
En este caso José ha reemplazado las V y las F por 1 o 0. Algunos lógicos hacen esto, otros, en cambio, prefieren reservar los nº para lógicas modales donde existen más de dos valores de Verdad (en este caso la utilización de nº resulta de una necesidad más evidente). Vease "Lógica Matemática" de J.Ferrater Mora y H.Leblanc (1962). Fondo de Cultura Económica (pag. 59 a 66).

Para practicar con TV hay que tener en cuenta que la TV anterior tiene un órden lógico, no cronológico. Digamos que en este segundo caso yo resolvería primero (p||q), y luego el condicional (>>). Veamos un ejemplo de resolución de la TV anterior:

p q p || q
V V V

Aclaración (en el mismo orden que se realiza)
1º. Se supone que p es verdadero.
2º. Se supone que q es verdadero.
3º. En este caso la conectiva || (o...o) tiene que ser *verdadera*

Para los casos siguientes, igual:

F V V
V F V
F F F
Conviene siempre seguir un mismo orden, por ejemplo, para la primera proposición atómica 'p' (en columna): V-F-V-F; y para la segunda proposición 'q' (tambien en columna): V-V-F-F.

De esta manera se combinan los cuatro casos posibles. Si cada proposición tiene dos valores de verdad y hay dos proposiciones, la combinación dará cuatro posibilidades (leído en fila): VV-FV-VF-FF

Es decir: verdadera y verdadera, falsa y verdadera, verdadera y falsa y falsa y falsa.

Una vez que se ha resuelto la primera parte se pasa a la segunda
(utilizando ya una columna que se obtenido, la última, la que se
refiere a la conectiva '||')

Se parte de esta situación y se resuelve, el condicional >>

p >> (p||q)
V V
F V
V V
F F

Que queda así:

p >> p||q)
V V V
F V V
V V V
F V F

El único caso que podría dar falso sería en la combinación p(V) y q(F) Es decir que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; lo cual convierte en falsa a la conectiva >>

Esto no se da en la tabla, (abajo se muestra sólo la conclusión) que tiene esta forma:

>>
V
V
V
V

Que indica que en los cuatro casos posibles, lo cuatro son verdaderos. Bien... si todos los casos son verdaderos, si no hay posibilidad de tener una alternativa falsa... entonces estamos frente a una tautología. Una proposición molecular que *siempre* es verdadera. El caso de "llueve o no llueve" muestra que no existe ninguna posiblidad que sea falsa la proposición; dado que si se cumple cualquiera de las dos proposiciones simples o atómicas, la proposición es verdadera.

Insisto en ello, y trato de desmenuzar el proceso para que se entienda como funcionan tanto las tablas de verdad, como el procedimiento (puramente mecánico) de establecer la verdad de una proposición molecular, compleja.

Es importante (para que quiera jugar este juego) dominar al dedillo las Tablas de Verdad, y saber (de carrerilla) en que casos pueden ser verdad o falsos cualquiera de las conectivas estudiadas.

Lo de "saber" se entiende, aquí, como *recordar* y entender *por qué*.

El procedimiento mecanizado permite que pueda resolverse por ordenador. Cuando la proposición molecular es muy poco evidente porque tiene muchas proposiciones simples unidas... no viene nada mal un prg que resuelva en un periquete cual es la TV que se obtiene de todas las combinaciones que se exponen.

Wittgenstein tambien tiene su parte en la simplificación de las Tablas de Verdad... pero eso es otro tema.

Carlos

Nota: aconsejo que estos msg se pasen por impresora; considero que es psicológicamente muy difícil seguir un razonamiento simbólico sin papel. La pantalla no lo sustituye. Creo que el ordenador es útil, pero no es útil para todo. Cada soporte de información tiene sus ventajas (el papel es barato, portatil, fiable -en el tiempo-, resiste una lluvia -ligera- y nuestros ojos lo agradecen). Es inteligente aprovecharlas combinando los recursos disponibles.
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From: Carlos
Date: Sat, 21 Jul 2001 13:37:37 +0200
Subject: logica proposcional 8. Tautologias, un poco más.
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Logica proposcional 8. Tautologias

Las tautologías, son aquellas proposiciones cuyas Tablas de Verdad dan siempre V (verdad). Su número es infinito (tal como dice expresamente J.Ferrater Mora y H. Leblanc (1962), pag.41) y no son un artículo de lujo o un fenómeno irrelevante sino que desempeñan un papel fundamental en la lógica proposicional. Aquí coloco un breve listado de las más importantes (aparte de las ya comentadas de los principios de identidad, contradicción y tercer excluído, por lo cual sigo con el nº 4):

4. Ley de la doble negación:

p <> ¬¬p

5. Leyes de simplificación:

(p&q) >> p
(p >> (p||q)

6. Leyes de conmutación:

(p&q) <> (q&p)
(p||q) <> (qvp)
(p<>q) <> (q<>p)

7. Leyes de asociación:

((p&q)&r) <> (p&(p&r))
((p||q)||r) <> (p||(p||r))
((p<>q ) <> r) <> (p<>(p<>r))

8. Leyes de distribución:

((p&(q||r)) <> ((p&q)||(p&r))
((p||(q&r)) <> ((p||q)&(p||r))
((p>>(q&r)) <> ((p>>q)&(p>>r))
((p>>(q||r)) <> ((p>>q)v(p>>r))

Observese que los casos se repiten, simplemente se cambia la
conectiva. Y observese, tambien, como funcionan diferentes las
conectivas en cada caso.

9. Leyes de transitividad:

((p>>q)&(q>>r)) >> (p>>r)
((p<>q)&(q<>r)) >> (p<>r)

10. La ley del dilema (muy usado en la antigua retórica).

(((p>>q)&(r>>s))&(p||q)))>>(qvs)

Observese que los parentesis equivalen a colocar una señal para indicar que es lo primero que hay que mirar, o resolver. Siempre se empieza por los parentesis más internos. Tambien se podría colocar, en el mismo orden, parentesis, corchete y llave. Esto es lo que se usa en matemáticas.

El conocimiento de estas tautologías (y otras que omito) permiten agilizar el cálculo proposicional, reemplazando fórmulas muy largas por otras más reducidas. Esta clase de operaciones son muy comunes en matemáticas. De esta forma se obtienen las mismas ventajas que en el cálculo matemático: velocidad, sencillez y precisión. Amén de otra (que creo la más importante), la posibilidad de realizar operaciones complejas que serían totalmente imposibles con el lenguaje natural. No habría forma de desenredar los nudos mentales que se crearían si intentaramos seguir el cálculo proposicional interpretando cada caso con una afirmación o negación hecha en español cotidiano.


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Nota final: ha habido un cambio, desde la época de estos msg a hoy, en la notación utilizada. Aunque he cambiado todos los signos es posible que alguno haya quedado desapercibido. En ese caso aquí viene una tabla para interpretar alguno signo extraño (extraño porque no se ha explicado su significado)

Antes Ahora
y . &
o...o v ||
o excl. |v| |
condic. -> >>
bicond. <-> <>
No ~ ¬

Los cambios se han hecho para facilitar la escritura (tambien para prevenir equívocos) y por la imposibilidad de repetir en ASCII los signos propios de la lógica formal que se muestran en los libros.

Carlos.
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