jueves, 1 de mayo de 2008

Gödel, Teorema

Douglas R. Hofstadter Gödel.
Escher, Bach. Un Eterno y Grácil Bucle.
Tusquets Editores. Colección Superinfimos, 9.
Barcelona. 1ªEdición, mayo 1987.
pp 882.

[entre paréntesis pag. del libro de Hofstadter]

El teorema de Gödel se refiere fundamentalmente a los PRINCIPIA MATHEMATICA: obra escrita por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead. Publicada en 1910. En ella, los autores se esfuerzan por limpiar de "bucles extraños" ( proposiciones oscilantes que niegan-afirman-niegan...) la lógica, la teoría de conjuntos y la teoría de los números (24)

Bien, Gödel demostró, para desilusión de los matemáticos y lógicos de la época, que el objetivo de los Principa Mathematica demostrar que el conocimiento matemático es coherente (sin contradicción) y completo (o sea que de ellos se puede deducir cualquier proposición válida) es ilusorio (27)

¿Que afirma Gödel?

Que "Toda formulación axiomática de la teoría de los números incluye proposiciones indecidibles" (19) Tambien podría escribirse así: "Esa aseveración de teoría de los números no tiene ninguna demostración en el sistema de los Principia Mathematica y sistemas afines" (21)

¿Consecuencias del Teorema de Gódel?

La prueba o torema de Kurt Gödel tuvo importantes consecuencias sobre la:

-Incompletitud: "El sistema de los Principia Mathematica es "incompleto" [tiene] proposiciones verdaderas de la teoría de los números para cuya demostración resulta demasiado débil el método de los P.M."

-y la Demostrabilidad: "Lo que Gödel demostró fue que la demostrabilidad es un concepto más endeble que la verdad, independientemente del sistema axiomático de que se trate" (21)

¿Cómo lo hizo? Para probar sus afirmaciones Gödel creó la "numeración Gödel".

"Correlacionó cada uno de los signos de un cálculo con números de la aritmética [ej. <> se correlaciona con 1]. Cada serie de correlaciones empieza con un número y sigue una ley de sucesión. Luego se expresa numericamente cualquier fórmula dada, se aplican determinadas multiplicaciones y se obtiene un "número gödeliano" el cual, al descomponerlo en sus factores primos, permite reconocer la fórmula de partida. Tambien se representan así enunciados metamatemáticos (1)(C es completo). Así los metateoremas del cálculo pueden ser expresados (y probados) mediante teoremas aritméticos elementales.

Principio de Turing: "Principio paralelo al Teorema de Gödel: existen "agujeros" imposibles de rellenar hasta en la computadora más inteligente que pueda inventarse" (29)

Nota (1) La metamatemática incluye: "Procedimientos legítimos en razonamiento matemático. Notación uniforme que permita resolver la validez de cualquier razonamiento. Codificación de los modos aceptados de razonamiento, por lo menos, de todos aquellos que se usen en matemáticas" (26)

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[Relacionado con:]

Como G vio claramente a comienzos de la década de 1930, el concepto de sistema formal está estrechamente relacionado con el de procedimiento mecánico, y el considera el trabajo de Turing de 1936 un importante complemento de su trabajo sobre los límites de la formalización. (Hao Wang.Reflexiones sobre Kurt Gödel.Alianza Universidad. (Reflection on Kurt Gödel.1987 Massachussetts Institute of Technology) Madrid 1991.Pag. 233)