viernes, 16 de mayo de 2008

Gödel, Teorema (Breve Resumen)

Teorema de Gödel

Muestra que dado un sistema logístico razonablemente rico, tal sistema es esencialmente incompleto, por aparecer cuando menos un enunciado o teorema que no es decidible en el sistema (...) en suma, si el sistema es completo, no es consistente; si es consistente, no es completo [F.Mora, Dicc.Filosófico, art: Gödel, prueba de]

1. Qué afirma?

Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles (19). Tambien podría escribirse así: "Esta aseveración de teoría de los números no tiene ninguna demostración en el sistema de los Principia Mathematica y sistemas afines" (21)

1.1 Num. Gödel

Correlacionó cada uno de los signos de un cálculo con números de la aritmética [~ se correlaciona con 1]. Cada serie de correlaciones empieza con un número y sigue una ley de sucesión. Luego se expresa numericamente cualquier fórmula dada, se aplican determinadas multiplicaciones y se obtiene un "número gödeliano" el cual, al descomponerlo en sus factores primos, permite reconocer la formula de partida. Tambien se representan así enunciados metamátematicos (C es completo). Así los metateoremas del cálculo pueden ser expresados (y probados) mediante teoremas aritméticos elementales. [F.Mora, art. cit]

(La correspondencia entre notaciones es una transformación que conserva la información; equivalente a ejecutar la misma melodía mediante 2 instrumentos diferentes -292-)

2. consecuencias

La prueba o teorema de Kurt Gödel tuvo importantes consecuencias.

2.1 incompletitud El sistema de los Principia Mathematica es "incompleto". [tiene] proposiciones verdaderas de teoria de los números para cuya demostración resulta demasiado débil el método de los P.M.

2.2 demostrabilidad Lo que G demostró fue que la demostrabilidad es un concepto más endeble que la verdad, independientemente del sistema axiomático de que se trate (21)

2.3 TRANSFORMACIONES ¿Cómo es posible que pueda expresar enunciado alguno con un contenido distinto al aritmetico [ej: MUMON= 30 es un número MIU y MU es un teorema del sistema MIU]. Sí, se puede... al igual como "BACH" [nombre del músico] puede ser interpetado como un nombre y tambien como una melodía; así como una misma oración puede ser una precisa descripción estructural de una pintura de ESCHER, de una sección de ADN, de una obra de BACH, y del propio diálogo dentro del cual aparece esta oración...(297 in fine)

3. P.M. Principia Mathematica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, publicada entre 1910-1913. En ella se esfuerzan por limpiar de "bucles extraños" (manera finita de representar un proceso interminable -17; proposiciones oscilantes que niegan-afirman-niegan...) la lógica, la teoría de conjuntos y la teoría de los números (24) [nota: cuando no se aclara la fuente, los numeros pertenecen a las pág. de "Gödel, Escher, Bach" de D.R. Hofstadter. Tusquets]

3.1 tratan de Un conjunto del "tipo" más bajo no puede tener entre sus miembros otros conjuntos, sino únicamente "objetos". En general, un conjunto de un tipo dado no puede abarcar sino conjuntos de tipo más bajo, además de objetos. Se prohibe la formación de cierta clase de conjuntos... ningun conjunto puede contenerse a si mismo porque entonces tendría que pertenecer a un tipo más alto que su propio tipo. (24)

3.1.1 Bucle Extraño: La autorreferencia los crea.

4. Biografia

Kurt Gódel: Checoslovaquia 1906-Princeton (USA) 1978. Prof. de matemáticas de la Univ. de Viena (1933-38), formó parte del Círculo de Viena. Emigró a USA en 1938, donde se nacionalizó. En 1930 estableció la completitud del cálculo de predicados de primer orden, y poco más tarde dos teoremas que revolucionaron los fundamentos de las matemáticas: 1) la existencia de enunciados indemostrables e irrefutbles dentro de los sistemas formales, 2) la imposibilidad de establecer pruebas de consistencia, dentro de los mismos sistemas. (Dicc. Larousse)

5. Principio de Turing Principio paralelo al Teorema de Gödel: existen "agujeros" imposibles de rellenar hasta en la computadora más inteligente que pueda inventarse (29)

6. Metamatemática Procedimientos legítimos en razonamiento matemático. Notación uniforme que permita resolver la validez de cualquier razonamiento. Codificacion de los modos aceptados de razonamiento, por lo menos, de todos aquellos que se usen en matematicas (26)