lunes, 21 de abril de 2008

Asimétrico

From pineiro@DATAMARKETS.COM.AR Wed Apr 08 06:28:26 1998

ASIMETRICO es un boletín de matemática recreativa y divulgación científica escrito por un grupo de gente convencida de que el placer de la investigación científica está (dentro de las posibilidades de cada uno) al alcance de todos.

ASIMETRICO se distribuye exclusivamente por correo postal (no electrónico) y aparece tres veces al año, en febrero, junio y octubre.

En febrero de 1998 apareció ASIMETRICO Nro. 2.

El valor de la suscripción está destinado exclusivamente a cubrir en parte los gastos de impresión y envío. La suscripción para residentes en Argentina es de $ 5 .- por tres ejemplares. Debe enviarse cheque o giro postal a nombre de Gustavo Ernesto Pi~eiro a la dirección siguiente: Formosa 353 - Piso 3 - Depto. J - (1424) Buenos Aires.

Como muestra, se reproducen a continuación la editorial de ASIMETRICO Nro. 0 (aparecido en agosto de 1997) y la nota "Cuántos pares son...", escrita por Maximiliano Minin, incluida en ese mismo ejemplar.

Cordiales saludos,

Gustavo Piñeiro Director y propietario de ASIMETRICO.

EDITORIAL

Con el correr del tiempo toda publicación que posea una cierta vitalidad evolucionará, crecerá y explorará caminos tal vez inicialmente no previstos.

En consecuencia, no podemos prever cuál será el futuro de Asimètrico. Pero sí podemos en cambio establecer cuál es nuestra intención al iniciar este proyecto. Asimètrico tiene como objetivo central la divulgación de las Ciencias y, principalmente, de la Matemática formal y la Matemática recreativa.

Mostraremos que la Matemática no es un cuerpo de conocimiento estático y fosilizado sino que, muy por el contrario, es un campo permanentemente abierto a la investigación. Al mismo tiempo, trataremos de desarrollar en nuestros lectores el gusto por la exploración científica y la aventura matemática.

Escribe Paul Davies en su libro Superfuerza (Editorial Salvat):

"En física, la belleza es un juicio de valor que atañe a la intuición profesional y no es fácilmente comunicable al profano, ya que se halla expresada en un lenguaje que éste no ha aprendido, el lenguaje de las matemáticas. Pero para quien sí conoce este lenguaje, su belleza es tan evidente como la de la poesía.


"Las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje de la naturaleza. Si no hablamos un cierto lenguaje, nunca podremos comprender la belleza de su poesía. Siempre hay escépticos que dicen: '¿Qué es esta misteriosa belleza matemática de la que hablan ustedes? No veo nada bello en esa mezcolanza de símbolos'...Me gustaría responder comparando las matemáticas con la música. Para quien no ha oído más que notas musicales aisladas, la belleza de una sinfonía es algo imposible de explicar. Sin embargo, ¿quién puede negar que hay auténtica belleza en una sinfonía, aunque esta belleza sea de naturaleza abstracta e indefinible? Del mismo modo, ¿cómo puedo comunicar a una persona sin experiencia matemática la sensación de deleite y profundo atractivo de las ecuaciones de Maxwell?

"Una de las grandes tragedias de nuestra sociedad es que, sea por miedo, por una enseñanza insuficiente o por falta de motivación, la inmensa mayoría de la gente se ha cerrado a la poesía matemática y a la música de la naturaleza. La visión global que revelan las matemáticas le es negada. Pueden sentirse encantados con el aroma de una rosa o el color de un ocaso, pero son ciegos a toda una dimensión de experiencias estéticas."


El Dr. Davies compara a la matemática con la música. No por conocida, la comparación deja de ser acertada. Hay muy pocos Mozart o Bach, pero en cambio todos podemos aprender a tocar un instrumento musical o, al menos, improvisar silbando una melodía. En estas páginas dedicaremos la mayor parte del espacio a estas "improvisaciones matemáticas", tanto de nuestros colaboradores como, esperamos, de nuestros lectores.

Para finalizar, es menester aclarar que Asimètrico no es una publicación pensada específicamente para aportar material a la enseñanza de la matemática. Si, eventualmente, parte del material publicado resultara útil para tal fin será, simplemente, un beneficio apreciado, mas completamente inesperado.


Gustavo Piñeiro

*********************************************************************** En cierta ocasión le preguntaron a Faraday qué utilidad tenía la investigación científica, a lo que él respondió: "¿Qué utilidad tiene un niño recién nacido?"

(Paul Davies, Superfuerza) ***********************************************************************

¿CUÁNTOS PARES SON...

(Por Maximiliano Minim)

...TRES MEDIAS son el tema de este pequeño opúsculo. Las definiré, dis cutiré brevemente algunas de sus propiedades y al finalizar dejaré planteadas algunas cuestiones para las que (debo confesar) no tengo ninguna respuesta.

Aclaración: en lo que a estas líneas se refiere debemos entender que cada vez que escribo "número" me refiero a un número real positivo (puede ser o no ser entero, puede ser o no ser racional). La primera de las tres medias que vamos a analizar es la llamada media aritmética, la cual se define del siguiente modo. Si a y b son dos números positivos distintos cualesquiera, entonces su media aritmética es: ???

La media aritmética (que desde luego es el habitual promedio) tiene una clara interpretación geométrica. Si representamos a los números a y b en la recta numérica, entonces al número c le corresponderá exactamente el punto medio entre ambos.

Existe una segunda interpretación de la media aritmética. Llamamos una sucesión aritmética a aquella que se construye a partir de un número dado, sumándole cada vez una constante (llamada la razón de la su cesión). Por ejemplo, si comenzamos con 4 y vamos sumando 3 cada vez, obtenemos:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22,....

Nótese que 7 es el la media aritmética de 4 y 10; 10 es la media de 7 y 13; 13 es la de 10 y 16; etc. En general, en una sucesión aritmética cada término es igual a la media aritmética de su precedente y su siguiente (es decir, el número que en una sucesión aritmética se encuentra en medio de otros dos, es igual a la media aritmética de ellos).

La segunda media a la que me voy a referir en este opúsculo es la media geométrica, que se define como sigue. Si a y b son dos números reales positivos diferentes entonces su media geométrica es igual a:

Por ejemplo la media geométrica de 2 y 8 es 4. Así como ocurría con la media aritmética, la media geométrica admite también una interpretación vinculada con cierto tipo de sucesión. En efecto, llamamos una sucesión geométrica a aquella que se construye a partir de un número dado, multiplicando cada vez una constante (llamada, como antes, la razón de la sucesión). Por ejemplo, si comenzamos con 3 y vamos multiplicando por 2 cada vez tenemos:

3, 6, 12, 24, 48, ....

En una sucesión de este tipo, cada número en medio de otros dos es igual a la media geométrica de ellos. Por ejemplo, 6 es la media geométrica de 12 y 3; 12 es la de 6 y 24; etc.

La media geométrica admite además una interpretación vinculada con la física. Supongamos que tenemos una balanza perfecta de dos platillos (es decir, una balanza sin rozamiento, sin peso propio y con sus dos brazos perfectamente iguales). También tenemos una manzana y queremos usar la balanza para saber cuánto pesa (1). Colocamos la fruta en uno de los platillos (cualquiera de los dos), y en el otro ponemos pesas hasta que los brazos queden perfectamente horizontales. Si hemos puesto pesas por valor de 200 g. entonces podemos asegurar sin temor a equivocarnos que es éste el peso de la manzana.

Pero supongamos ahora que los dos brazos de la balanza no son perfectamente iguales; sino que uno es más largo que el otro. En este caso, si colocamos la manzana en el platillo derecho y luego equilibramos con pesas en el otro; obtendremos un peso diferente del que tendríamos si colocamos la manzana en el platillo izquierdo y equilibramos con pesas en el otro. ¿Cuál de los dos es el peso real de la manzana? En verdad ninguno de los dos valores obtenidos es el correcto. Resulta que el peso real es igual a la media geométrica de los dos pesos obtenidos.

Históricamente algunas de las primeras tablas de logaritmos se construyeron utilizando sucesivamente medias aritméticas y geométricas. En efecto, si construimos una sucesión geométrica de razón 10 que comience en 1 y a la vez una sucesión aritmética de razón 1 que comience en 0 (renglón superior e inferior respectivamente):

1, 10, 100, 1000, 10.000, ...

0, 1, 2, 3, 4,...

Se observa que la segunda sucesión está formada por los logaritmos (en base 10) de los números de la primera. Por ejemplo, 0 es el logaritmo de 1; 1 es el de 10; 2 es el de 100; etc. Para obtener el logaritmo de ?(que es la media geométrica entre 1 y 10) debemos calcular la media aritmética de 0 y 1. El logaritmo de ? es entonces 0,5. Calculando sucesivas medias geométricas en el renglón de arriba y medias aritméticas en el de abajo, podemos ir aproximando los logaritmos de cualquier número que querramos. Este método fue el utilizado por el matemático inglés Henry Briggs a principios del siglo XVII para construir las primeras tablas de logaritmos en base 10 (2).

Notemos que la media aritmética de 1 y 2 es 1,5; mientras que su media geométrica, que es ? (o 1,4142...), es menor. En realidad, si a y b son números reales positivos diferentes entonces siempre su media geométrica es menor que la media aritmética (3).

Pero prometí que iba a referirme en este opúsculo a tres medias. Veamos a continuación la tercera de ellas. Como ejemplo inicial, comencemos calculando esta tercera media para los números 1 y 2. El cálculo involucra un proceso infinito. Empezando con estos números 1 y 2; calculamos primero su media geométrica (que aparece más abajo a la izquierda) y su media aritmética (a la derecha):

1,414213562373 1,5

En el siguiente paso calculamos la media geométrica de estos dos números (a la izquierda en el renglón de más abajo) y su media aritmética (a la derecha):

1,456475315122 1,457106781187

En el paso siguiente, una vez más, calculamos la media geométrica y la media aritmética de los dos números obtenidos:

1,45679101394 1,456791048155

Y seguimos...

1,456791031048 1,456791031048

Cada número a la izquierda es la media geométrica de los dos anteriores. Cada número a la derecha es su media aritmética.

Se puede demostrar que tanto la sucesión que se forma a la izquierda, como aquella que se forma a la derecha, van convergiendo ambas al mismo valor. Los de la izquierda se aproximan a este número desde "abajo" (son siempre menores al número al cual convergen), mientras que los de la derecha se aproximan desde "arriba". En el ejemplo precedente (comenzando con los números 1 y 2), el valor al cual las dos sucesiones se aproximan es aproximadamente igual a 1,4567910348....

El número que se obtiene como resultado de este proceso infinito fue llamado por K.F. Gauss (el matemático más grande de los tiempos modernos) la media aritméticogeométrica de los dos números iniciales. Es decir que 1,4567910348.... es la media aritméticogeométrica de los números 1 y 2.

A continuación algunos ejemplos que se obtienen comenzando con otros pares de números diferentes:

Para 2 y 5; la media aritméticogeométrica es aproximadamente 3,328997146... Para 4 y 5 la media aritméticogeométrica es 4,486057164 (aprox.). Para 1 y 10 es 4,250407098 (aprox.). Los números iniciales no tienen por qué ser enteros (ni siquiera racionales). Por ejemplo, para 2,5 y 6,3 su media es 4,181531704 (aprox.).

Las cuestiones que quiero dejar planteadas, todas ellas referidas a la media aritméticogeométrica, son las siguientes:

1) ¿Es posible dar una interpretación geométrica o física de esta media aritméticogeométrica? ¿Es posible dar alguna interpretación, del tipo que sea?

2) Dado un número real M positivo, ¿es posible hallar siempre dos números reales diferentes, a y b, tales que M sea la media aritmético geométrica de a y b? Una buena respuesta para esta pregunta sería hallar (si existe) una fórmula o algún tipo de procedimiento (aunque sea infinito) que, dado M, permita hallar a y b (diferentes entre sí).

3) ¿Es posible que la media aritméticogeométrica de dos números racionales positivos sea también un número racional? ¿Es posible que la media aritméticogeométrica de dos números enteros sea también un número entero? En caso de respuesta afirmativa para la segunda pregunta, hallar el menor par de números enteros para el cual esto ocurra.

Como dije al comenzar, no tengo respuestas para estas arduas preguntas. Asimètrico publicará gustosamente cualquier solución (parcial o total) que nuestros lectores nos envíen.

Notas:

(1) Un purista de la física diría que una balanza de dos platillos compara masas y no pesos. Pero a los efectos del opúsculo podemos ignorar esta cuestión.

(2) Véase la nota Logaritmos, aparecida en la revista Axioma Nº 2.

(3) Véase el capítulo 15 del libro Números y Figuras de H. Rademacher y O. Toeplitz.